7. Дорога между пунктами А и В состоит из двух участков: 24 км подъема и 16 км спуска. Велосипедист преодолевает этот путь от А до В за 4 ч 20 мин, а обратный путь за 4 ч. Определите скорость велосипедиста на подъеме и на спуске.

Пусть $$v_п$$ - скорость велосипедиста на подъеме, $$v_с$$ - скорость на спуске. Время подъема из А в В: $$t_{п1} = \frac{24}{v_п}$$. Время спуска из А в В: $$t_{с1} = \frac{16}{v_с}$$. Время подъема из В в А: $$t_{п2} = \frac{16}{v_п}$$. Время спуска из В в А: $$t_{с2} = \frac{24}{v_с}$$. Известно, что путь от А до В занимает 4 ч 20 мин, т.е. $$4 + \frac{20}{60} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$$ часа. Обратный путь занимает 4 часа. Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{24}{v_п} + \frac{16}{v_с} = \frac{13}{3} \ \frac{16}{v_п} + \frac{24}{v_с} = 4 \end{cases}$$ Умножим второе уравнение на $$\frac{13}{12}$$: $$\frac{16 \cdot 13}{12v_п} + \frac{24 \cdot 13}{12v_с} = \frac{52}{12}$$ $$\frac{52}{3v_п} + \frac{26}{v_с} = \frac{13}{3}$$ Умножим первое уравнение на 3: $$\begin{cases} \frac{72}{v_п} + \frac{48}{v_с} = 13 \ \frac{16}{v_п} + \frac{24}{v_с} = 4 \end{cases}$$ Умножим второе уравнение на -2: $$\begin{cases} \frac{72}{v_п} + \frac{48}{v_с} = 13 \ \frac{-32}{v_п} + \frac{-48}{v_с} = -8 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$\frac{40}{v_п} = 5$$ $$v_п = \frac{40}{5} = 8$$ км/ч. Подставим $$v_п = 8$$ во второе уравнение: $$\frac{16}{8} + \frac{24}{v_с} = 4$$ $$2 + \frac{24}{v_с} = 4$$ $$\frac{24}{v_с} = 2$$ $$v_с = \frac{24}{2} = 12$$ км/ч. Ответ: Скорость на подъеме 8 км/ч, скорость на спуске 12 км/ч. **Развёрнутый ответ для школьника:** Чтобы решить эту задачу, мы сначала обозначили скорость велосипедиста на подъеме и на спуске разными переменными. Затем мы составили два уравнения на основе информации о времени, затраченном на путь от А до В и обратно. Решив эту систему уравнений, мы нашли значения для скорости на подъеме и на спуске. Таким образом, скорость велосипедиста на подъеме составляет 8 км/ч, а скорость на спуске - 12 км/ч. Это значит, что велосипедист едет быстрее, когда спускается с горы, чем когда поднимается на нее.