3. На координатной плоскости изображены векторы а и б. Найдите скалярное произведение а · б.

Решение:

Запишем координаты векторов по их расположению на координатной плоскости.

Вектор \( \vec{a} \) начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке \( (x_2, y_2) \). По рисунку, \( x_2 = 1 \) и \( y_2 = 2 \), следовательно, \( \vec{a} = (1, 2) \).

Вектор \( \vec{b} \) начинается в точке \( (x_1, y_1) \) и заканчивается в точке \( (x_3, y_3) \). По рисунку, \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 1 \), \( x_3 = 6 \), \( y_3 = 2 \).

Чтобы найти координаты вектора \( \vec{b} \), вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки:

\[ \vec{b} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1) = (6 - 3, 2 - 1) = (3, 1) \]

Теперь найдём скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 \]

Ответ: 5.