6. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны \( \frac{2}{\pi} \). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

Цилиндр, описанный около прямой призмы, имеет высоту, равную высоте призмы, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

Высота цилиндра \( H \) равна длине бокового ребра призмы:

\[ H = \frac{2}{\pi} \]

Основание призмы — квадрат со стороной \( a = 2 \). Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d \) находится по теореме Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2} \]

\[ d = 2 \sqrt{2} \]

Радиус окружности, описанной около основания призмы (и основания цилиндра), равен:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[ V_{цилиндра} = \pi R^2 H \]

Подставим найденные значения:

\[ V_{цилиндра} = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \frac{2}{\pi} \]

\[ V_{цилиндра} = \pi \cdot 2 \cdot \frac{2}{\pi} \]

\[ V_{цилиндра} = 4 \]

Ответ: 4.