5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]

Где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

Основание — правильный шестиугольник со стороной \( a = 6 \). Площадь правильного шестиугольника:

\[ S_{осн} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \]

\[ S_{осн} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54 \sqrt{3} \]

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту, апофему и радиус вписанной окружности основания. Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Угол между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности основания. В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности равен апофеме основания (высоте равностороннего треугольника, составляющего шестиугольник).

Апофема основания (высота равностороннего треугольника со стороной \( a \)):

\[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

\[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3 \sqrt{3} \]

Угол между боковой гранью и основанием равен \( 45^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( h \), апофемой основания \( r \) и апофемой боковой грани (которая является гипотенузой), тангенс угла при основании равен:

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{r} \]

\[ 1 = \frac{h}{3 \sqrt{3}} \]

\[ h = 3 \sqrt{3} \]

Теперь найдём объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 54 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3} \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 3 \cdot 3 \]

\[ V = 54 \cdot 3 = 162 \]

Ответ: 162.