3. На стороне AF прямоугольника DAFM отметили её середину — точку N. Оказалось, что ND ⟂ NM. Меньшая сторона прямоугольника равна 21 см. Найдите его периметр.

Пусть стороны прямоугольника равны \(DA=MF=a\) и \(AF=DM=b\). Разместим вершины так: \(D(0,0)\), \(A(a,0)\), \(F(a,b)\), \(M(0,b)\). Так как N — середина AF, то \(N(a,\frac b2)\).

Условие перпендикулярности ND и NM означает, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{ND}=(-a,-\frac b2)\) и \(\overrightarrow{NM}=(-a,\frac b2)\) равно нулю. Получаем \(a^2-\frac{b^2}{4}=0\), откуда \(b=2a\).

Меньшая сторона равна \(a=21\) см, а большая — \(b=42\) см. Тогда периметр равен \(2(21+42)=126\) см.

Ответ: 126 см.