3. Найдите экстремумы функции f(x) = x³ - 3x² - 7

Решение:

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю.

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 7) \)

\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)

Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 3x \):

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Отсюда получаем два критических значения \( x \):

• \( 3x = 0 \) ⇒ \( x = 0 \)
• \( x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = 2 \)

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используя вторую производную.

Найдем вторую производную:

\( f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \)

Проверим значения в критических точках:

• Для \( x = 0 \): \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \). Так как \( f''(0) < 0 \), в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный максимум.
• Для \( x = 2 \): \( f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \). Так как \( f''(2) > 0 \), в точке \( x = 2 \) функция имеет локальный минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

• Максимум: \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 7 = -7 \)
• Минимум: \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 7 = 8 - 3(4) - 7 = 8 - 12 - 7 = -11 \)

Ответ: Локальный максимум в точке \( x = 0 \), \( f(0) = -7 \). Локальный минимум в точке \( x = 2 \), \( f(2) = -11 \).