5. Решите неравенство log₄(x - 7) \(\le\) log₄(6 - 4x)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть следующие условия:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными.
2. Функция \( y = \log_4 x \) является возрастающей, поэтому если \( \log_4 a \le \log_4 b \), то \( a \le b \).

1. Условия положительности аргументов:

• \( x - 7 > 0 \) ⇒ \( x > 7 \)
• \( 6 - 4x > 0 \) ⇒ \( 6 > 4x \) ⇒ \( x < \frac{6}{4} \) ⇒ \( x < \frac{3}{2} \)

Объединяя эти два условия, получаем, что для существования логарифмов требуется \( x > 7 \) и \( x < 1.5 \). Эти условия противоречат друг другу, то есть не существует такого \( x \), для которого оба логарифма были бы определены. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

2. Решение самого неравенства (при условии, что аргументы были бы положительны):

\( \log_4 (x - 7) \le \log_4 (6 - 4x) \)

Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция возрастающая, поэтому:

\( x - 7 \le 6 - 4x \)

\( x + 4x \le 6 + 7 \)

\( 5x \le 13 \)

\( x \le \frac{13}{5} \)

\( x \le 2.6 \)

Объединение всех условий:

Мы должны найти \( x \), которые удовлетворяют одновременно:

• \( x > 7 \)
• \( x < 1.5 \)
• \( x \le 2.6 \)

Нет таких \( x \), которые одновременно больше 7 и меньше 1.5.

Ответ: Решений нет.