3. Найдите область определения выражения: \(\sqrt{\frac{-3x^2-2x+8}{(x+11)(x+1)}}\)

Решение:

Для нахождения области определения выражения под корнем, должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$\frac{-3x^2-2x+8}{(x+11)(x+1)} \ge 0$$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $$(x+11)(x+1)
   e 0$$, что означает $$x
   e -11$$ и $$x
   e -1$$.

Анализ числителя: Найдем корни квадратного трехчлена $$-3x^2-2x+8$$. Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(-3)(8) = 4 + 96 = 100$$. Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{-6} = -2$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}$$. Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола $$-3x^2-2x+8$$ направлена вниз, и выражение неотрицательно между корнями: $$-2 \le x \le \frac{4}{3}$$.

Анализ знаменателя: Корни знаменателя $$-11$$ и $$-1$$. Эти значения $$x$$ исключаются из области определения.

Метод интервалов: Теперь объединим условия. Нам нужно, чтобы дробь была $$\ge 0$$. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на числовой оси:

• Числитель ($$-3x^2-2x+8$$): положителен на $$(-2, \frac{4}{3})$$, отрицателен вне этого интервала.
• Знаменатель ($$(x+11)(x+1)$$): положителен на $$(-\infty, -11) \cup (-1, \infty)$$, отрицателен на $$(-11, -1)$$.

Определение знака дроби:

• $$(-\infty, -11)$$: Числитель (-), Знаменатель (+). Дробь (-).
• $$(-11, -2]$$: Числитель (-), Знаменатель (-). Дробь (+).
• $$[-2, -1)$$: Числитель (+), Знаменатель (-). Дробь (-).
• $$(-1, \frac{4}{3}]$$: Числитель (+), Знаменатель (+). Дробь (+).
• $$(\frac{4}{3}, \infty)$$: Числитель (-), Знаменатель (+). Дробь (-).

Условие $$\ge 0$$ выполняется на интервалах: $$(-11, -2]$$ и $$(-1, \frac{4}{3}]$$.

Итоговая область определения: Учитывая, что $$x
e -11$$ и $$x
e -1$$, получаем:

$$x \in (-11, -2] \cup (-1, \frac{4}{3}]$$

Ответ: $$x \in (-11; -2] \cup (-1; \frac{4}{3}]$$