5. Решите уравнение sin 2x = 2sin²x

Решение:

1. Формула двойного угла: Заменим $$\sin 2x$$ по формуле двойного угла: $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$.
2. Перенос членов: Подставим формулу в уравнение и перенесем все члены в одну сторону: $$2 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x \implies 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 0$$.
3. Вынесение общего множителя: Вынесем общий множитель $$2 \sin x$$: $$2 \sin x (\cos x - \sin x) = 0$$.
4. Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: $$2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$$. Это происходит при $$x = \pi k$$, где $$k$$ — любое целое число ($$k \in \mathbb{Z}$$).
• Случай 2: $$\cos x - \sin x = 0$$. Перенесем $$\sin x$$ в правую часть: $$\cos x = \sin x$$.
• Деление на косинус: Разделим обе части на $$\cos x$$ (при условии, что $$\cos x
  e 0$$). Если $$\cos x = 0$$, то и $$\sin x = 0$$, что невозможно, так как $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Поэтому $$\cos x
  e 0$$. Делим: $$\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \implies \mathrm{tg} x = 1$$.
• Решение для тангенса: $$\mathrm{tg} x = 1$$ происходит при $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n$$ — любое целое число ($$n \in \mathbb{Z}$$).

Ответ: $$x = \pi k$$ и $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.