8. Решите уравнение \(\sqrt{6-x-x^2} = x+1\)

Решение:

1. Условия для уравнения с корнем: Для решения данного уравнения необходимо выполнить два условия:
• Подкоренное выражение неотрицательно: $$6-x-x^2 \ge 0$$.
• Правая часть неотрицательна: $$x+1 \ge 0$$, так как корень квадратный по определению не может быть отрицательным.
2. Решение первого условия: $$6-x-x^2 \ge 0$$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $$x^2+x-6 \le 0$$. Найдем корни уравнения $$x^2+x-6 = 0$$. Дискриминант $$D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$. Корни: $$x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$$, $$x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$$. Так как парабола $$y=x^2+x-6$$ направлена ветвями вверх, выражение $$x^2+x-6 \le 0$$ при $$-3 \le x \le 2$$.
3. Решение второго условия: $$x+1 \ge 0 o x \ge -1$$.
4. Область допустимых значений (ОДЗ): Объединяем оба условия: $$x \ge -1$$ и $$-3 \le x \le 2$$. Получаем ОДЗ: $$-1 \le x \le 2$$.
5. Возведение в квадрат: Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $$(\sqrt{6-x-x^2})^2 = (x+1)^2$$.
6. Упрощение: $$6-x-x^2 = x^2 + 2x + 1$$.
7. Приведение к квадратному уравнению: Перенесем все члены в правую часть: $$0 = x^2 + 2x + 1 - 6 + x + x^2 o 2x^2 + 3x - 5 = 0$$.
8. Решение квадратного уравнения: Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $$D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49$$. Корни: $$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$. $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.
9. Проверка на соответствие ОДЗ:
• $$x_1 = -2.5$$. Это значение не входит в ОДЗ ($$-1 \le x \le 2$$), поэтому является посторонним корнем.
• $$x_2 = 1$$. Это значение входит в ОДЗ ($$-1 \le 1 \le 2$$).
10. Проверка подстановкой: Подставим $$x=1$$ в исходное уравнение: $$\sqrt{6-1-1^2} = 1+1 o \sqrt{6-1-1} = 2 o \sqrt{4} = 2 o 2 = 2$$. Равенство верно.

Ответ: $$1$$