6. Найдите меньший корень уравнения 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0

Решение:

1. Замена переменной: Данное уравнение является квадратным относительно $$3^x$$. Сделаем замену: пусть $$t = 3^x$$. Тогда $$3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$$.
2. Квадратное уравнение: Подставим замену в уравнение: $$t^2 - 10t + 9 = 0$$.
3. Решение квадратного уравнения: Решим это квадратное уравнение относительно $$t$$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна $$10$$, а произведение равно $$9$$. Корни: $$t_1 = 1$$ и $$t_2 = 9$$.
4. Обратная замена: Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$, подставив найденные значения $$t$$.
• Случай 1: $$t_1 = 1$$. $$3^x = 1$$. Так как любое число в степени 0 равно 1, $$x = 0$$.
• Случай 2: $$t_2 = 9$$. $$3^x = 9$$. Так как $$9 = 3^2$$, то $$3^x = 3^2$$, откуда $$x = 2$$.
5. Сравнение корней: Мы нашли два корня исходного уравнения: $$x = 0$$ и $$x = 2$$.
6. Выбор меньшего корня: Из двух найденных корней, меньшим является $$0$$.

Ответ: $$0$$