7. Решите неравенство 5^{x^2-4} > 1

Решение:

1. Представление единицы в виде степени: Вспомним, что любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Поэтому $$1 = 5^0$$.
2. Сравнение степеней: Неравенство примет вид: $$5^{x^2-4} > 5^0$$.
3. Свойство показательной функции: Так как основание степени $$5$$ больше $$1$$, показательная функция $$y=5^x$$ является возрастающей. Это значит, что если $$a^m > a^n$$ и $$a > 1$$, то $$m > n$$.
4. Решение неравенства для показателя: Применяем это свойство к нашему неравенству: $$x^2 - 4 > 0$$.
5. Решение квадратного неравенства: Решим неравенство $$x^2 - 4 > 0$$. Найдем корни соответствующего уравнения $$x^2 - 4 = 0$$. Корни: $$x^2 = 4 o x = \pm 2$$.
6. Метод интервалов: Парабола $$y = x^2 - 4$$ направлена ветвями вверх. Выражение $$x^2 - 4$$ будет положительным вне корней.
7. Интервалы: Таким образом, $$x^2 - 4 > 0$$ при $$x < -2$$ или $$x > 2$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$$