4. Найдите точку минимума функции y = 2x² - 5x + ln x - 3

Решение:

1. Нахождение производной: Для нахождения точки минимума функции найдем её производную по $$x$$. Производная от $$2x^2$$ равна $$4x$$. Производная от $$-5x$$ равна $$-5$$. Производная от $$\ln x$$ равна $$\frac{1}{x}$$. Производная от константы $$-3$$ равна $$0$$.
2. Производная функции: $$y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$.
3. Нахождение критических точек: Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0$$.
4. Преобразование уравнения: Умножим все члены уравнения на $$x$$ (учитывая, что $$x$$ должен быть больше 0, так как входит в область определения $$\ln x$$): $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$.
5. Решение квадратного уравнения: Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-5)^2 - 4(4)(1) = 25 - 16 = 9$$. Корни: $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ и $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$.
6. Анализ критических точек: Обе критические точки $$x=\frac{1}{4}$$ и $$x=1$$ находятся в области определения функции ($$x>0$$).
7. Определение характера точек: Определим, является ли каждая из этих точек точкой минимума или максимума, с помощью второй производной или анализа знака первой производной.
8. Вторая производная: Найдем вторую производную: $$y'' = (4x - 5 + \frac{1}{x})' = 4 - \frac{1}{x^2}$$.
9. Проверка второй производной:
• При $$x = \frac{1}{4}$$: $$y''(\frac{1}{4}) = 4 - \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} = 4 - \frac{1}{\frac{1}{16}} = 4 - 16 = -12$$. Так как вторая производная отрицательна, в точке $$x=\frac{1}{4}$$ находится точка максимума.
• При $$x = 1$$: $$y''(1) = 4 - \frac{1}{1^2} = 4 - 1 = 3$$. Так как вторая производная положительна, в точке $$x=1$$ находится точка минимума.

Ответ: Точка минимума находится при $$x=1$$.