3. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt[9]{m}}{\sqrt[18]{m}\cdot \sqrt[9]{m}}\) при m = 64.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Шаг 1: Представим корни в виде степеней.
   \( \sqrt[9]{m} = m^{\frac{1}{9}} \)
   \( \sqrt[18]{m} = m^{\frac{1}{18}} \)
2. Шаг 2: Подставим степени в исходное выражение.
   \( \frac{m^{\frac{1}{9}}}{m^{\frac{1}{18}} \cdot m^{\frac{1}{9}} } \)
3. Шаг 3: Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) для знаменателя.
   \( m^{\frac{1}{18}} \cdot m^{\frac{1}{9}} = m^{\frac{1}{18} + \frac{1}{9}} = m^{\frac{1}{18} + \frac{2}{18}} = m^{\frac{3}{18}} = m^{\frac{1}{6}} \)
4. Шаг 4: Разделим степени с одинаковым основанием, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \( \frac{m^{\frac{1}{9}}}{m^{\frac{1}{6}}} = m^{\frac{1}{9} - \frac{1}{6}} = m^{\frac{2}{18} - \frac{3}{18}} = m^{-\frac{1}{18}} = \frac{1}{m^{\frac{1}{18}}} = \frac{1}{\sqrt[18]{m}} \)
5. Шаг 5: Подставим значение m = 64.
   \( \frac{1}{\sqrt[18]{64}} = \frac{1}{\sqrt[18]{2^6}} = \frac{1}{2^{\frac{6}{18}}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \)

Ответ: Полученное выражение \( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \) является окончательным, так как дальнейшее упрощение до целого числа невозможно.