3. Подобные треугольники Применение: Найдите стороны подобных треугольников, если их площади относятся как 4:9, а разность сторон первого треугольника равна 5 см.

Решение:

Пусть \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади подобных треугольников, а \( a_1 \) и \( a_2 \) — соответствующие стороны.

По условию, \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9} \).

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия \( k \):

\[ k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9} \]

Тогда коэффициент подобия равен:

\[ k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \]

Это означает, что отношение соответствующих сторон равно \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \).

Пусть \( a_1 \) и \( a_2 \) — соответствующие стороны. Тогда \( a_1 = 2x \) и \( a_2 = 3x \) для некоторого \( x \).

Разность сторон первого треугольника равна 5 см. Предположим, что \( a_2 > a_1 \), тогда:

\[ a_2 - a_1 = 5 \text{ см} \]

\[ 3x - 2x = 5 \text{ см} \]

\[ x = 5 \text{ см} \]

Теперь найдём стороны:

• \( a_1 = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} \)
• \( a_2 = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см} \)

Если предположить, что \( a_1 > a_2 \), то \( a_1 - a_2 = 5 \text{ см} \), что противоречит отношению подобия \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \). Поэтому верно первое предположение.

Ответ: стороны подобных треугольников равны 10 см и 15 см.