3. Прямая CD проходит через вершину A и не лежит в плоскости треугольника ABC. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Так как E и F — середины сторон AB и BC треугольника ABC, отрезок EF является средней линией:

\(EF\parallel AC\).

Прямая CD проходит через A и не лежит в плоскости треугольника ABC. Она пересекает эту плоскость только в точке A. Точка A не принадлежит EF, поэтому CD и EF не пересекаются. Они также не параллельны, так как лежат в разных плоскостях. Следовательно, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

б) Поскольку \(EF\parallel AC\), угол между CD и EF равен углу между CD и AC:

\(\angle(CD,EF)=\angle DCA=60^\circ\).

Ответ: а) CD и EF — скрещивающиеся; б) \(60^\circ\).