3. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Решение:

1. Связь радиуса вписанной окружности (r) и стороны (a) правильного треугольника:\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]
2. Находим сторону (a):\[ a = 2r \sqrt{3} = 2 imes 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \text{ см} \]
3. Формула площади правильного треугольника:\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
4. Подставляем значение стороны:\[ S = \frac{(12 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 imes 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{432 \sqrt{3}}{4} = 108 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Сторона $$12 \sqrt{3}$$ см, площадь $$108 \sqrt{3}$$ см²