3. Решите неравенство: (x - 2)(x + 3) > 0. Изобразите решение на числовой прямой.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( (x - 2)(x + 3) > 0 \), найдём корни уравнения \( (x - 2)(x + 3) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = -3 \).

Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 2) \) и \( (2, \infty) \).

Проверим знак выражения \( (x - 2)(x + 3) \) в каждом интервале:

• При \( x = -4 \) (интервал \( (-\infty, -3) \)): \( (-4 - 2)(-4 + 3) = (-6)(-1) = 6 > 0 \)
• При \( x = 0 \) (интервал \( (-3, 2) \)): \( (0 - 2)(0 + 3) = (-2)(3) = -6 < 0 \)
• При \( x = 3 \) (интервал \( (2, \infty) \)): \( (3 - 2)(3 + 3) = (1)(6) = 6 > 0 \)

Неравенство \( (x - 2)(x + 3) > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (2, \infty) \).

Изображение на числовой прямой:

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \).