9. Постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства: y = (2-x)(x + 6)

Решение:

Данная функция: \( y = (2-x)(x + 6) \).

Сначала раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду \( y = ax^2 + bx + c \):

\[ y = 2x + 12 - x^2 - 6x \]

\[ y = -x^2 - 4x + 12 \]

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

Свойства функции:

1. Коэффициенты: \( a = -1 \), \( b = -4 \), \( c = 12 \).
2. Направление ветвей параболы: Так как \( a = -1 < 0 \), ветви параболы направлены вниз.
3. Координаты вершины параболы:
• Абсцисса вершины \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2 \).
• Ордината вершины \( y_в = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16 \).
• Вершина параболы находится в точке \( (-2, 16) \).
4. Точки пересечения с осями:
• С осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = (2-0)(0+6) = 2 · 6 = 12 \). Точка пересечения: \( (0, 12) \).
• С осью Ox: Найдем нули функции, приравняв \( y = 0 \): \( (2-x)(x+6) = 0 \). Корни: \( 2-x = 0 ⇒ x = 2 \) и \( x+6 = 0 ⇒ x = -6 \). Точки пересечения: \( (-6, 0) \) и \( (2, 0) \).
5. Ось симметрии: Прямая \( x = -2 \).

Построение графика:

Ответ: График — парабола с вершиной в точке \( (-2, 16) \), ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Ox в точках \( (-6, 0) \) и \( (2, 0) \), и ось Oy в точке \( (0, 12) \).