3. Упростите выражение 7 / x² - y² - 5 / xy - x² + 12 / x² + xy

3. Упростите выражение:

\( \frac{7}{x^2 - y^2} - \frac{5}{xy - x^2} + \frac{12}{x^2 + xy} \)

Разложим знаменатели на множители:

• \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
• \( xy - x^2 = x(y - x) = -x(x - y) \)
• \( x^2 + xy = x(x + y) \)

Подставим разложенные знаменатели и приведём к общему знаменателю \( -xy(x-y)(x+y) \) или \( xy(x-y)(x+y) \) если взять \( x(y-x) \) как \( -x(x-y) \). Возьмём общий знаменатель \( xy(x-y)(x+y) \).

\( \frac{7}{ (x-y)(x+y)} - \frac{5}{-x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} = \frac{7xy}{xy(x-y)(x+y)} + \frac{5x(x+y)}{xy(x-y)(x+y)} + \frac{12(x-y)}{xy(x-y)(x+y)} \)

\( = \frac{7xy + 5x^2 + 5xy + 12x - 12y}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{5x^2 + 12xy + 12x - 12y}{xy(x-y)(x+y)} \)

Если в третьем знаменателе \( x^2+xy \) взять как \( x(x+y) \), а во втором \( xy-x^2 \) как \( x(y-x) \), то общий знаменатель будет \( x(x-y)(x+y) \).

\( \frac{7}{ (x-y)(x+y)} - \frac{5}{x(y-x)} + \frac{12}{x(x+y)} = \frac{7}{ (x-y)(x+y)} + \frac{5}{x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} \)

Общий знаменатель: \( x(x-y)(x+y) \).

\( \frac{7x}{x(x-y)(x+y)} + \frac{5(x+y)}{x(x-y)(x+y)} + \frac{12(x-y)}{x(x+y)(x-y)} = \frac{7x + 5x + 5y + 12x - 12y}{x(x-y)(x+y)} = \frac{24x - 7y}{x(x-y)(x+y)} \)

В задании, скорее всего, опечатка во втором знаменателе. Если предположить, что он \( x^2-xy \), то:

\( \frac{7}{x^2 - y^2} - \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{12}{x^2 + xy} = \frac{7}{(x-y)(x+y)} - \frac{5}{x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} \)

Общий знаменатель: \( x(x-y)(x+y) \).

\( \frac{7x}{x(x-y)(x+y)} - \frac{5(x+y)}{x(x-y)(x+y)} + \frac{12(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{7x - 5x - 5y + 12x - 12y}{x(x-y)(x+y)} = \frac{14x - 17y}{x(x-y)(x+y)} \)

Если второй знаменатель \( xy - x^2 \), а третий \( x^2 + xy \), и общий знаменатель \( x(x-y)(x+y) \), то:

\( \frac{7}{x^2 - y^2} - \frac{5}{xy - x^2} + \frac{12}{x^2 + xy} = \frac{7}{(x-y)(x+y)} - \frac{5}{x(y-x)} + \frac{12}{x(x+y)} = \frac{7}{(x-y)(x+y)} + \frac{5}{x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} \)

\( = \frac{7x}{x(x-y)(x+y)} + \frac{5(x+y)}{x(x-y)(x+y)} + \frac{12(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{7x + 5x + 5y + 12x - 12y}{x(x-y)(x+y)} = \frac{24x - 7y}{x(x-y)(x+y)} \)

Ответ: \( \frac{24x - 7y}{x(x-y)(x+y)} \) (при условии, что второй знаменатель \( xy - x^2 \), а третий \( x^2 + xy \)).