3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между прямыми \(AC\) и \(AB\) равен \(180°-104°=76°\). Обозначим \(AB=a\), тогда \(AC=2a\).

В треугольнике \(ABC\) по теореме косинусов:

\(BC^2=a^2+(2a)^2-2\cdot a\cdot2a\cos76°=a^2(5-4\cos76°)\).

Обозначим векторы сторон параллелограмма из вершины A через \(\mathbf u=\overrightarrow{AB}\) и \(\mathbf v=\overrightarrow{AD}\). Диагонали имеют направления \(\mathbf u+\mathbf v\) и \(\mathbf v-\mathbf u\). Их скалярное произведение равно \(|\mathbf v|^2-|\mathbf u|^2=BC^2-a^2=4a^2(1-\cos76°)\), а длины диагоналей равны \(2a\) и \(2a\sqrt{1-\cos76°}\).

Следовательно, косинус угла между диагоналями равен \(\sqrt{1-\cos76°}\), а угол составляет приблизительно \(68.3°\).

Ответ: приблизительно 68.3°.