4. В ромбе ABCD AB = 2, AC = √7. Найдите синус угла BAC.

Диагональ ромба делит угол при вершине A пополам и перпендикулярна диагонали BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда \(AO=AC/2=\sqrt7/2\), а \(AB=2\).

В прямоугольном треугольнике AOB: \(BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{4-7/4}=3/2\). Поэтому \(\sin\angle BAO=BO/AB=3/4\).

Поскольку \(\angle BAC=2\angle BAO\), получаем \(\sin\angle BAC=2\sin\angle BAO\cos\angle BAO=2\cdot(3/4)\cdot(\sqrt7/4)=3\sqrt7/8\).

Ответ: \(3\sqrt7/8\).