3. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен \(\sqrt{14}\). Найдите сторону основания пирамиды.

Обозначим сторону квадратного основания через \(a\), высоту пирамиды — через \(h\), центр основания — через O, середину стороны основания — через M. В сечении плоскостью через вершину пирамиды, O и M тангенс двугранного угла равен \(h/(a/2)\).

1. По условию \(h/(a/2)=\sqrt{14}\), поэтому \(h^2=14a^2/4\).

2. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно \(a/\sqrt{2}\). По теореме Пифагора для бокового ребра: \(22^2=h^2+a^2/2\).

3. Подставим выражение для \(h^2\): \(484=14a^2/4+a^2/2=4a^2\). Следовательно, \(a^2=121\), откуда \(a=11\).

Ответ: 11.