9. Прямая \(y=3x+1\) является касательной к графику функции \(f(x)=ax^2+2x+3\). Найдите a.

В точке касания значения функции и прямой совпадают: \(ax^2+2x+3=3x+1\). Получаем уравнение \(ax^2-x+2=0\). Для касания это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, поэтому его дискриминант равен нулю.

\(D=(-1)^2-4\cdot a\cdot2=1-8a=0\), откуда \(a=\frac{1}{8}\).

Ответ: \(\frac{1}{8}\).