3. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 97 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC. Поэтому \(AM=MC=97:2=48.5\).

Обозначим \(AH=x\). Тогда \(HC=AC-AH=97-x\), а из прямоугольного треугольника BHC: \(BC^2=BH^2+(97-x)^2\).

Из прямоугольного треугольника BHM: \(BM^2=BH^2+(48.5-x)^2\). По условию \(BC=BM\), следовательно, квадраты этих отрезков равны. Получаем \((97-x)^2=(48.5-x)^2\), откуда \(97-x=-(48.5-x)\) и \(x=72.75\).

Ответ: AH = 72,75.