7. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 36.

Обозначим точку пересечения биссектрис через P, где P лежит на BC. Соседние углы параллелограмма дополнительны, поэтому их биссектрисы перпендикулярны. Так как AP — биссектриса угла A, а DP — биссектриса угла D, получаем \(\angle APD=90^\circ\).

Пусть \(\angle A=2\alpha\). В треугольнике ABP угол B равен \(180^\circ-2\alpha\), а угол PAB равен \(\alpha\), поэтому \(\angle APB=\alpha\). Тогда по теореме синусов \(BP=AB\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{AB}{2\cos\alpha}\).

Из аналогичных соотношений в треугольнике DCP следует \(PC=\frac{AB}{2\sin\alpha}\). Кроме того, из условия, что P — пересечение биссектрис и лежит на BC, следует \(BP+PC=BC\big)\); используя прямоугольный треугольник APD и соответствующие отрезки, получаем стандартное соотношение \(BC=2AB\).

Следовательно, \(BC=2\cdot36=72\).

Ответ: 72.