3 вариант. ABCD — прямоугольник, диагонали AC и BD пересекаются в O. BE ⟂ AC, E ∈ AC; OE = 4 см, ∠ACD = 60°. Найти AC.

В прямоугольнике ∠ACD = 60°, значит диагональ AC образует с горизонтальной стороной угол 30°. Обозначим длину AC через L, а длины сторон прямоугольника через w и h. Тогда h/L = sin 30° = 1/2, поэтому h = L/2.

Проекция точки B на диагональ AC делит её в отношении AE:EC = h²:w². Поскольку h/L = 1/2, имеем h²/L² = 1/4, то есть AE = L/4. Точка O — середина AC, следовательно, AO = L/2.

Поэтому OE = AO − AE = L/2 − L/4 = L/4. Из OE = 4 см следует L = 16 см.

Ответ: AC = 16 см.