№3. Вычислите: \(5\sqrt{2} \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8}\)

Решение:

1. Формула двойного угла: Мы видим произведение синуса и косинуса одного и того же угла. Вспомним формулу синуса двойного угла:
   \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \]
2. Преобразование выражения: Чтобы применить эту формулу, нам нужно иметь множитель 2 перед произведением синуса и косинуса. Домножим и разделим исходное выражение на 2:
   \[ 5\sqrt{2} \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \left( 2 \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8} \right) \]
3. Применение формулы: Теперь используем формулу синуса двойного угла, где
   \[ \alpha = \frac{5\pi}{8} \]
   \[ 2\alpha = 2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi}{4} \]
   \[ \frac{5\sqrt{2}}{2} \left( 2 \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8} \right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) \]
4. Вычисление значения синуса: Угол
   \[ \frac{5\pi}{4} \] находится в третьем квадранте, где синус отрицателен. Его значение равно:
   \[ \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
5. Итоговый расчет: Подставляем значение синуса обратно:
   \[ \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = -\frac{5 \cdot 2}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \]

Ответ: \(-\frac{5}{2}\)