№5. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 9, а третий член равен 1.

Решение:

1. Формулы для геометрической прогрессии:
   
   • Общий член:
     \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
   • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при
     \[ |q| < 1 \]):
     \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]
   где
   \[ b_1 \] — первый член,
   \[ q \] — знаменатель прогрессии.
2. Находим знаменатель (q): Нам дано:
   
   • 
     \[ b_1 = 9 \]
   • 
     \[ b_3 = 1 \]
   Используя формулу общего члена для третьего члена:
   \[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \]
   \[ 1 = 9 \cdot q^2 \]
   \[ q^2 = \frac{1}{9} \]
   \[ q = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} \]
   \[ q = \pm \frac{1}{3} \]
3. Выбор значения q: Для существования суммы бесконечной прогрессии необходимо, чтобы
   \[ |q| < 1 \]. Оба значения
   \[ q = \frac{1}{3} \] и
   \[ q = -\frac{1}{3} \] удовлетворяют этому условию. Нам нужно рассмотреть оба случая.
4. Случай 1: q = 1/3
   \[ S_1 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \]
5. Случай 2: q = -1/3
   \[ S_2 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75 \]

Ответ: Сумма прогрессии может быть равна \(13.5\) (при \(q = \frac{1}{3}\)) или \(6.75\) (при \(q = -\frac{1}{3}\)).