№6. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 30 и 16, и боковым ребром, равным 2.

Решение:

1. Формула площади полной поверхности призмы:
   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \]где
   \[ S_{бок} \] — площадь боковой поверхности,
   \[ S_{осн} \] — площадь основания.
2. Площадь основания (S_осн): Основание — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240 \]
3. Площадь боковой поверхности (S_бок): Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро):
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]
4. Находим периметр основания (P_осн): Нам нужно найти сторону ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Получаем 4 прямоугольных треугольника с катетами
   \[ \frac{30}{2} = 15 \] и
   \[ \frac{16}{2} = 8 \]. Найдем сторону ромба (a) по теореме Пифагора:
   \[ a^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 \]
   \[ a = \sqrt{289} = 17 \] Периметр ромба:
   \[ P_{осн} = 4a = 4 \cdot 17 = 68 \]
5. Вычисляем S_бок: Высота призмы (h) равна длине бокового ребра, то есть
   \[ h = 2 \].
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 68 \cdot 2 = 136 \]
6. Итоговая площадь:
   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 136 + 2 \cdot 240 = 136 + 480 = 616 \]

Ответ: \(616\)