№7. Стороны основания треугольной пирамиды равны 5, 12 и 13. Высота пирамиды равна 7. Найдите объём пирамиды.

Решение:

1. Формула объёма пирамиды:
   \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]где
   \[ S_{осн} \] — площадь основания,
   \[ h \] — высота пирамиды.
2. Площадь основания (S_осн): Основание — треугольник со сторонами 5, 12, 13. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора:
   \[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
   \[ 13^2 = 169 \] Так как
   \[ 5^2 + 12^2 = 13^2 \], треугольник является прямоугольным. Его площадь равна половине произведения катетов:
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \]
3. Вычисление объёма: Высота пирамиды
   \[ h = 7 \]. Подставляем значения в формулу объёма:
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70 \]

Ответ: \(70\)