31. Дано: SABCD — правильная пирамида, ΔASC — прямоугольный, AS = 10. Найти: Sосн.

В правильной пирамиде боковые рёбра равны, поэтому \(AS=CS=10\). Прямоугольный треугольник ASC равнобедренный; прямой угол находится при S. Тогда

\(AC=\sqrt{AS^2+CS^2}=\sqrt{100+100}=10\sqrt2\).

Основание — квадрат, а AC — его диагональ. Если сторона квадрата равна \(a\), то \(a\sqrt2=10\sqrt2\), значит \(a=10\). Следовательно, \(S_{осн}=a^2=100\).

Ответ: 100.