32. Дано: SABCD — правильная пирамида, SC = √20, ΔKSM — равносторонний. Найти: Sосн.

По отметкам на рисунке K и M — середины противоположных сторон основания, поэтому KM равно стороне квадрата основания. Обозначим эту сторону через \(a\), а высоту пирамиды через \(h\). Так как треугольник KSM равносторонний, \(SK=KM=a\).

Расстояние от центра квадрата до K равно \(a/2\), поэтому \(SK^2=h^2+a^2/4=a^2\), откуда \(h^2=3a^2/4\). Расстояние от центра основания до вершины C равно \(a\sqrt2/2\). Следовательно,

\(SC^2=h^2+a^2/2=3a^2/4+a^2/2=5a^2/4\).

Поскольку \(SC=\sqrt{20}\), имеем \(20=5a^2/4\), значит \(a^2=16\). Площадь основания равна 16.

Ответ: 16.