31. SABCD — правильная пирамида, KC = 5, KS = 3, AD = 8. Найдите Pₘ треугольника ADK.

Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 8. По рисунку K лежит на SC; \(SK=3\), \(KC=5\), значит \(SC=8\).

1. \(AD=8\).
2. Пусть O — центр квадрата. Тогда \(OC=4\sqrt2\), а из прямоугольного треугольника SOC: \(SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=4\sqrt2\).
3. K находится на \(3/8\) пути от S к C. При размещении квадрата в координатной плоскости можно взять \(A=(-4,-4,0)\), \(D=(4,-4,0)\), \(C=(4,4,0)\), \(S=(0,0,4\sqrt2)\). Тогда \(K=(3/2,3/2,5\sqrt2/2)\), откуда \(AK=DK=\sqrt{221/2}\).

\(P_{ADK}=8+2\sqrt{221/2}=8+\sqrt{442}\).

Ответ: \(8+\sqrt{442}\).