32.13. Докажите, что: а) z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁ ∈ C, z₂ ∈ C; б) (a + b)z = az + bz, a ∈ R, b ∈ R, z ∈ C; в) (ab)z = a(bz), a ∈ R, b ∈ R, z ∈ C; г) a(z₁ + z₂) = az₁ + az₂, a ∈ R, z₁ ∈ C, z₂ ∈ C.

Пусть z₁ = x₁ + y₁i, z₂ = x₂ + y₂i, z = x + yi, где x₁, y₁, x₂, y₂, x, y — действительные числа.

1. а) z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i. Так как сложение действительных чисел коммутативно, это равно (x₂ + x₁) + (y₂ + y₁)i = z₂ + z₁.
2. б) (a + b)z = (a + b)x + (a + b)yi = ax + bx + (ay + by)i = az + bz.
3. в) (ab)z = abx + aby i = a(bx + by i) = a(bz), используя ассоциативность умножения действительных чисел.
4. г) a(z₁ + z₂) = a[(x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i] = (ax₁ + ax₂) + (ay₁ + ay₂)i = az₁ + az₂.