32.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным −i. а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

Член прогрессии: bₙ = i(−i)ⁿ⁻¹. Поскольку (−i)⁴ = 1, члены повторяются через четыре позиции.

1. Последовательно умножаем на −i: первые семь членов — i, 1, −i, −1, i, 1, −i.
2. b₂₇ = i(−i)²⁶ = i(−i)² = −i.
3. В каждом блоке из четырёх членов сумма равна i + 1 − i − 1 = 0. Первые 2004 члена составляют 501 такой блок; оставшиеся три дают i + 1 − i = 1.
4. С 15-го по 30-й член — 16 членов, то есть четыре полных блока по четыре члена. Их сумма равна 0.

Ответ: а) i, 1, −i, −1, i, 1, −i; б) −i; в) 1; г) 0.