33. Площадь прямоугольного треугольника равна 392√3 / 3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°.
• Пусть угол A = 30°, тогда угол B = 60°.
• Пусть катет, прилежащий к углу A, равен 'a' (катет AC), а катет, противолежащий углу A, равен 'b' (катет BC).
• Площадь прямоугольного треугольника S = (1/2) * a * b.
• По теореме о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике:
• \[ b = a \cdot \tan(30^{\circ}) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]
• Подставим в формулу площади:
• \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left( a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{a^2}{2\sqrt{3}} \]
• Нам дано, что S = \( \frac{392\sqrt{3}}{3} \).
• Приравняем:
• \[ \frac{a^2}{2\sqrt{3}} = \frac{392\sqrt{3}}{3} \]
• \[ a^2 = \frac{392\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{392 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 392 \cdot 2 = 784 \]
• \[ a = \sqrt{784} = 28 \]
• Катет, прилежащий к углу 30°, равен 28.

Ответ: 28