36. В угол АСВ, равный 76°, вписана окружность с центром О, имеющая со сторонами угла АСВ точки касания А и В. Найдите величину угла АОВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 36. Окружность и угол

Дано:

• Угол \( \angle ACB = 76^\circ \).
• Окружность с центром \( O \) касается сторон \( AC \) и \( BC \) в точках \( A \) и \( B \) соответственно.

Найти: угол \( \angle AOB \).

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( ACOB \).
2. \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, проведённые в точки касания, поэтому \( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \).
3. Следовательно, \( \angle OAC = 90^\circ \) и \( \angle OBC = 90^\circ \).
4. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).
5. \( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^\circ \)
6. \( \angle AOB + 90^\circ + 76^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
7. \( \angle AOB + 256^\circ = 360^\circ \)
8. \( \angle AOB = 360^\circ - 256^\circ = 104^\circ \).

Ответ: 104