38. В угол MNP, равный 36°, вписана окружность, имеющая со сторонами угла точки касания M и P. Найдите величину угла MAP. Ответ дайте в градусах.

Задание 38. Окружность и угол

Дано:

• Угол \( \angle MNP = 36^\circ \).
• Окружность с центром \( A \) касается сторон \( NM \) и \( NP \) в точках \( M \) и \( P \) соответственно.

Найти: угол \( \angle MAP \).

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( NMAP \).
2. \( AM \) и \( AP \) — радиусы окружности, проведённые в точки касания, поэтому \( AM \perp NM \) и \( AP \perp NP \).
3. Следовательно, \( \angle AMN = 90^\circ \) и \( \angle APN = 90^\circ \).
4. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).
5. \( \angle MAP + \angle AMN + \angle MNP + \angle APN = 360^\circ \)
6. \( \angle MAP + 90^\circ + 36^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
7. \( \angle MAP + 216^\circ = 360^\circ \)
8. \( \angle MAP = 360^\circ - 216^\circ = 144^\circ \).

Ответ: 144