40. В окружность вписан четырёхугольник, два противоположных угла которого относятся между собой как 2 : 3. Найдите величину меньшего из них. Ответ дайте в градусах.

Задание 40. Вписанный четырёхугольник

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• Два противоположных угла относятся как 2 : 3.

Найти: величину меньшего из этих углов.

Решение:

1. Свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \).
2. Пусть меньший угол равен \( 2x \), тогда больший угол равен \( 3x \).
3. Составим уравнение: \[ 2x + 3x = 180^\circ \]
4. \( 5x = 180^\circ \)
5. \( x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ \)
6. Меньший угол равен \( 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \).
7. Больший угол равен \( 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \).
8. Проверка: \( 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ \).

Ответ: 72