37. В угол MPN, равный 48°, вписана окружность, имеющая со сторонами угла точки касания M и N. Найдите величину угла MCN. Ответ дайте в градусах.

Задание 37. Окружность и угол

Дано:

• Угол \( \angle MPN = 48^\circ \).
• Окружность с центром \( C \) касается сторон \( PM \) и \( PN \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно.

Найти: угол \( \angle MCN \).

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( PMCN \).
2. \( CM \) и \( CN \) — радиусы окружности, проведённые в точки касания, поэтому \( CM \perp PM \) и \( CN \perp PN \).
3. Следовательно, \( \angle PMC = 90^\circ \) и \( \angle PNC = 90^\circ \).
4. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).
5. \( \angle MCN + \angle PMC + \angle MPN + \angle PNC = 360^\circ \)
6. \( \angle MCN + 90^\circ + 48^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
7. \( \angle MCN + 228^\circ = 360^\circ \)
8. \( \angle MCN = 360^\circ - 228^\circ = 132^\circ \).

Ответ: 132