360. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций: а) y = √x и y = x; б) y = √x и y = 1000; в) y = √x и y = x + 10; г) y = √x и y = −x + 1,5? При положительном ответе укажите координаты этих точек. 1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки. 3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции y = √x; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

Проверим общие точки, приравнивая выражения для \(y\).

1. а) \(\sqrt{x}=x\). При \(x\geq0\) решения: \(x=0\) и \(x=1\). Общие точки: \((0;0)\), \((1;1)\).
2. б) \(\sqrt{x}=1000\), откуда \(x=1\,000\,000\). Общая точка: \((1\,000\,000;1000)\).
3. в) \(\sqrt{x}=x+10\). Правая часть положительна; после возведения в квадрат получаем \(x^2+19x+100=0\). Дискриминант \(19^2-4\cdot100=-39<0\), решений нет. Общих точек нет.
4. г) \(\sqrt{x}=-x+1,5\). Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\geq0\), \(x=t^2\), и \(t^2+t-1,5=0\). Положительный корень \(t=\frac{\sqrt{7}-1}{2}\), поэтому \(x=2-\frac{\sqrt{7}}{2}\). Общая точка: \(\left(2-\frac{\sqrt{7}}{2};\frac{\sqrt{7}-1}{2}\right)\).

Примеры для пункта 3: прямая \(y=-1\) не пересекает график \(y=\sqrt{x}\), поскольку корень неотрицателен. Прямая \(y=0\) пересекает его в одной точке \((0;0)\). Прямая \(y=x\) пересекает его в двух точках \((0;0)\) и \((1;1)\).