388. б) Из одной точки проведены касательная АВ и секущая АС, точка В - точка касания. Отрезок АС пересекает окружность в точке Р. Найдите АР, если АВ = 8, а PC = 12.

Снова воспользуемся свойством касательной и секущей: $$AB^2 = AP * AC$$. Известно, что $$AB = 8$$ и $$PC = 12$$. Также $$AC = AP + PC$$, значит $$AC = AP + 12$$. Подставим известные значения в формулу: $$8^2 = AP * (AP + 12)$$ $$64 = AP^2 + 12AP$$ Получаем квадратное уравнение: $$AP^2 + 12AP - 64 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Используем формулу для корней квадратного уравнения $$AP = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, где $$a=1$$, $$b=12$$, $$c=-64$$. $$AP = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 * 1 * (-64)}}{2 * 1}$$ $$AP = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2}$$ $$AP = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{2}$$ $$AP = \frac{-12 \pm 20}{2}$$ У нас два решения: $$AP_1 = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$AP_2 = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому $$AP = 4$$. Ответ: AP = 4