39. Докажите, что: а) A ⊆ B равносильно B̄ ⊆ Ā; б) A ⊆ B равносильно A \ B = ∅; в) A = B равносильно A △ B = ∅.

а) Если A ⊆ B, то всякий элемент, не принадлежащий B, не принадлежит и A, поэтому B̄ ⊆ Ā. Обратно, если B̄ ⊆ Ā, то из принадлежности элемента A следует, что он не принадлежит B̄, то есть принадлежит B. Значит, A ⊆ B.

б) A ⊆ B означает, что в A нет элементов, не принадлежащих B. Это равносильно A \ B = ∅. И наоборот, если разность пуста, каждый элемент A принадлежит B.

в) A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A). Это множество пусто тогда и только тогда, когда обе разности пусты, то есть когда A ⊆ B и B ⊆ A. Последнее равносильно A = B.