39. Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Решение:

Пусть отрезок АВ имеет длину \( a \). Пусть точка С делит отрезок АВ на два отрезка: АС и СВ. Пусть \( \text{AC} = x \), тогда \( \text{CB} = a - x \).

Пусть М — середина отрезка АС, а N — середина отрезка СВ.

Расстояние от А до М: \( \text{AM} = \frac{1}{2} \text{AC} = \frac{x}{2} \).

Расстояние от А до N: \( \text{AN} = \text{AC} + \text{CN} = x + \frac{1}{2} \text{CB} = x + \frac{a-x}{2} = \frac{2x + a - x}{2} = \frac{x+a}{2} \).

Расстояние между серединами отрезков MN равно разности расстояний от точки А до N и от точки А до М:

\( \text{MN} = \text{AN} - \text{AM} = \frac{x+a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{x+a-x}{2} = \frac{a}{2} \).

Ответ: \( \frac{a}{2} \).