40. Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Решение:

Пусть отрезок АВ имеет длину \( 28 \text{ см} \). Пусть он разделен на три неравных отрезка: \( \text{AC} \), \( \text{CD} \), \( \text{DB} \).

\( \text{AC} + \text{CD} + \text{DB} = 28 \text{ см} \).

Пусть М — середина отрезка АС, а N — середина отрезка DB.

Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см, то есть \( \text{MN} = 16 \text{ см} \).

Расстояние от точки А до середины отрезка АС (М) равно \( \text{AM} = \frac{1}{2} \text{AC} \).

Расстояние от точки А до середины отрезка DB (N) равно \( \text{AN} = \text{AC} + \text{CD} + \text{DN} = \text{AC} + \text{CD} + \frac{1}{2} \text{DB} \).

Расстояние MN можно выразить как: \( \text{MN} = \text{AN} - \text{AM} \) или \( \text{MN} = \text{AB} - \text{AM} - \text{NB} \).

Используем другое выражение для MN:

\( \text{MN} = \text{AM} + \text{CD} + \text{DN} \) (если предположить, что М и N находятся на краях С и D соответственно, но это не так).

Правильное выражение для MN:

\( \text{MN} = \text{AB} - \text{AM} - \text{NB} \) — это расстояние от середины первого отрезка до конца всего отрезка, минус половина последнего отрезка. Это неправильно.

Рассмотрим расстояние от точки А:

\( \text{AM} = \frac{1}{2} \text{AC} \).

\( \text{AN} = \text{AC} + \text{CD} + \frac{1}{2} \text{DB} \).

\( \text{MN} = \text{AN} - \text{AM} = \text{AC} + \text{CD} + \frac{1}{2} \text{DB} - \frac{1}{2} \text{AC} = \frac{1}{2} \text{AC} + \text{CD} + \frac{1}{2} \text{DB} \).

Мы знаем, что \( \text{AC} + \text{CD} + \text{DB} = 28 \).

\( \text{MN} = \frac{1}{2} \text{AC} + \text{CD} + \frac{1}{2} \text{DB} = 16 \).

Умножим на 2:

\( \text{AC} + 2\text{CD} + \text{DB} = 32 \).

Из первого уравнения вычтем второе:

\( (\text{AC} + \text{CD} + \text{DB}) - (\text{AC} + 2\text{CD} + \text{DB}) = 28 - 32 \).

\( -\text{CD} = -4 \).

\( \text{CD} = 4 \text{ см} \).

Ответ: 4 см.