4. \(0,4^{4,5x}=0,16\sqrt{0,4}\)

Представим правую часть как степень основания 0,4: \(0.16=0.4^2\), поэтому \(0.16\sqrt{0.4}=0.4^{2+0.5}=0.4^{2.5}\).

Поскольку основания равны и положительны, приравниваем показатели: \(4.5x=2.5\). Следовательно, \(x=\frac{2.5}{4.5}=\frac{5}{9}\).

Ответ: \(x=\frac{5}{9}\).