4.51. Упростите: а) $\frac{2mn}{m^3+n^3}+\frac{2m}{m^2-n^2}-\frac{1}{m-n}$; б) $\frac{2xy}{x^3-y^3}-\frac{2x}{x^2-y^2}+\frac{1}{x+y}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.51. Упростите: а) $\frac{2mn}{m^3+n^3}+\frac{2m}{m^2-n^2}-\frac{1}{m-n}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели: $m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$, $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Две последние дроби дают $\frac{2m}{(m-n)(m+n)}-\frac{1}{m-n}=\frac{1}{m+n}$. Складываем с первой дробью:
$\frac{2mn+m^2-mn+n^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}=\frac{m^2+mn+n^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$.
б) Разложим знаменатели: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Вторая и третья дроби дают $-\frac{2x}{(x-y)(x+y)}+\frac{1}{x+y}=-\frac{1}{x-y}$. Поэтому
$\frac{2xy-(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=-\frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$.

Ответ: а) $\frac{m^2+mn+n^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$; б) $-\frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$.

4.51. Упростите: а) \(\frac{2mn}{m^3+n^3}+\frac{2m}{m^2-n^2}-\frac{1}{m-n}\); б) \(\frac{2xy}{x^3-y^3}-\frac{2x}{x^2-y^2}+\frac{1}{x+y}\).