4.53. Докажите тождество: $\frac{3a(16-3a)}{9a^2-4}+\frac{3(1+2a)}{2-3a}-\frac{2-9a}{3a+2}=\frac{1}{3a+2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.53. Докажите тождество: $\frac{3a(16-3a)}{9a^2-4}+\frac{3(1+2a)}{2-3a}-\frac{2-9a}{3a+2}=\frac{1}{3a+2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель: $9a^2-4=(3a-2)(3a+2)$, а $2-3a=-(3a-2)$. Приведём левую часть к знаменателю $(3a-2)(3a+2)$:

\[\frac{3a(16-3a)-3(1+2a)(3a+2)-(2-9a)(3a-2)}{(3a-2)(3a+2)}.\]

Числитель упрощается:

$48a-9a^2-3(6a^2+7a+2)-(-27a^2+12a-4)=3a-2$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{3a-2}{(3a-2)(3a+2)}=\frac1{3a+2}$, то есть правой части. Тождество доказано при $a\ne\pm\frac23$.

4.53. Докажите тождество: \(\frac{3a(16-3a)}{9a^2-4}+\frac{3(1+2a)}{2-3a}-\frac{2-9a}{3a+2}=\frac{1}{3a+2}\).