4.54. Докажите тождество: $\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.54. Докажите тождество: $\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$.$ Фото задания

4.54. Докажите тождество: $\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$, $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Общий знаменатель — $(x-y)(x+y)^2$. Числитель левой части:

$(x+2y)(x-y)-(x-2y)(x+y)+2y^2$.

Раскрываем скобки: $x^2+xy-2y^2-(x^2-xy-2y^2)+2y^2=2xy+2y^2=2y(x+y)$.

После сокращения на $x+y$ получаем $\frac{2y}{(x-y)(x+y)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$. Тождество доказано при $x\ne\pm y$.

4.54. Докажите тождество: \(\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{2y}{x^2-y^2}\).

Ответ: